Reihenschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule

Zum allgemeinen Verständnis ist zunächst einmal wichtig zu wissen, dass die Stromstärke bei der Parallelschaltung von Spule und Kondensator und ohmschen Widerstand phasengleich ist, und nur die Spannungen an der Spule und am Kondensator eine Phasendifferenz von -pi/2 (90°) bzw. + pi/2 (90°) hat. Die Spannung am ohmschen Widerstand ist auch hier mit der Stromstärke in Phase. Dieses kann vereinfacht in einem Zeigerdiagramm veranschaulicht werden (Abb.1). Für den Widerstand einer Schaltung gilt im Allgemeinen: Xges= uges/iges. Da die Stromstärke überall gleich ist und entweder bekannt ist, oder einfach gemessen werden kann, so gilt es zur Ermittlung der wirkenden Spannung eine kleine Rechnung durchzuführen. Zu diesem Zweck dient unter anderem dieses Zeigerdiagramm, allerdings ist dies nicht so einfach, wie bei der Parallelschaltung, wo nur Spule und Kondensator auftreten. Die Subtraktion der Spannungen an Spule und Kondensator bleibt und durch den ohmschen Widerstand muss - wie bei Kräften - die gemeinsam wirkende Spannung mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden. Dazu kann man sich ein Rechteck (Abb.1 schwarze Linien) denken, dessen Diagonale den wirkenen Gesamtstrom beschreibt. Die Herleitung einer allgemeinen Formel für den Gesamtwiderstand funktioniert dann wie folgt, die Gleichungen für XL und XC erhalten wir aus dem Kapitel "Wechselstromwiderstände". Wichtig ist auch hier, dass man den Kehrwert bildet, um die Differenz aus dem Nenner zu bekommen.

\begin{align*} X&=\frac{u_{ges}}{i}\\ &=\frac{\sqrt{u_r^2+(u_L-u_c)^2}}{i}\\ &=\sqrt{\frac{u_r^2+(u_L-u_c)^2}{i}}\\ &=\sqrt{\frac{u_r^2}{i}+\left(\frac{u_L-u_C}{i}\right)^2}\\ &=\sqrt{R^2+\left(\frac{u_L}{i}-\frac{u_C}{i}\right)^2}\\ &=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}\\ &=\boxed{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}} \end{align*}