Parallelschaltung von Kondensator und Spule

Zum allgemeinen Verständnis ist zunächst einmal wichtig zu wissen, dass die Spannung bei der Parallelschaltung von Spule und Kondensator phasengleich ist, und nur die Stromstärke eine Phasendifferenz von -pi/2 (90°) bzw. + pi/2 (90°) hat. Dieses kann vereinfacht in einem Zeigerdiagramm veranschaulicht werden (Abb.1). Für den Widerstand einer Schaltung gilt im Allgemeinen: Xges= uges/iges. Da die Spannung überall gleich ist und entweder bekannt ist, oder einfach gemessen werden kann, so gilt es zur Ermittlung der wirkenden Stromstärke eine kleine Rechnung durchzuführen. Zu diesem Zweck dient unter anderem dieses Zeigerdiagramm. Da die unterschiedlichen Ströme entgegengesetzt sind, heben sie sich sozusagen teilweise auf und für die Gesamtspannung gilt dann einfach: iges = iL-iC. Die Herleitung einer allgemeinen Formel für den Gesamtwiderstand funktioniert dann wie folgt, die Gleichungen für XLund XC erhalten wir aus dem Kapitel "Wechselstromwiderstände". Wichtig zu wissen, ist nur noch das hier der Kehrwert gebildet wird, um die Differenz aus der dem Nenner zu bekommen.

Mit i und u sind im weiteren Verlauf die Scheitelwerte gemeint. \begin{align*} X_{ges}&=\frac{u_{ges}}{i_{ges}}=\left|\frac{u}{i_L-i_C}\right| &&|\text{Kehrwert}\\ &=\left|\frac{1}{\frac{i_L-i_C}{u}}\right|\\ &=\left|\frac{1}{\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}}\right|\\ &=\left|\frac{1}{\frac{1}{\omega L}-\omega C}\right|\\ &=\left|\frac{1}{\frac{1}{2\pi \cdot f\cdot L}-2\pi \cdot f \cdot C}\right| \end{align*}

Als kleine Ergänzung: Die Betragsstriche sind in diesem Fall wichtig, da es keinen negativen Widerstand geben kann und ein negativer Wert durch Subtraktion der beiden Spannung entstehen könnte.

\begin{align*} &\text{wenn}\; X_L = X_C \;\text{, dann gilt:}\\ &\omega L = \frac{1}{\omega C}\\ &\Leftrightarrow 2\pi \cdot f \cdot L=\frac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}\\\\ &\text{so kann beispielsweise die Frequenz berechnet werden:}\\ &\Rightarrow f^2=\frac{1}{4\pi^2\cdot LC}\\ &\Leftrightarrow f = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}
Betrachten wir also nun einmal das Grenzwertverhalten, der Funktion für den Gesamtwiderstand, welche von der Frequenz abhängig ist. Stellt man den Grenzwert lim->0 und lim->unendlich auf, so stellt man fest, dass die Funktion in beiden Fällen gegen 0 läuft. Dies klingt logisch, aber was passiert, wenn die Widerstände gleich groß sind? In diesem Fall geht der Nenner gegen 0. Aus diesem Grund ist davon auszugehen, dass in dem Punkt der Grenzfrequenz ein unendlich hoher Widerstand erreicht wird und sich >der Graph "davor" und "danach" asymtotisch dieser Stelle annähert. In diesem Fall ist es zum Beispiel interessant die Scheitelfrequenz zu berechnen.