Schwingkreis und Federpendel, der Vergleich

Ein beliebter Versuch in der Physik ist das Federpendel und die mit ihm verbundene Schwingung, die große Parallelen zum elektromagnetischen Schwingkreis aufzeigt. Der Versuchsaufbau sieht folgendermaßen aus. Eine elastische Feder wird senkrecht befestigt und an ihrem unteren Ende mit einem Gewicht versehen. Nun lässt sich zum Beispiel durch Strecken der Feder eine Schwingung hervorrufen welche auch harmonische Schwingung genannt wird.

Misst man nun den Verlauf des Gewichtes, so erhält man einen Sinus durch den im weiteren Verlauf eine Frequenz- und Streckengleichung hergeleitet wird.

\begin{align*} &F_1(t)-F_2(t)=0\\\\ &F_1(t)=-D\cdot s(t)\\ &F_2(t)=m\cdot a(t)\\\\ &\Rightarrow m\cdot a(t)+D\cdot s(t) = 0 &&|a(t)=\ddot{s}(t)\\ &\Leftrightarrow\ddot{s}(t)+D\cdot s(t)=0\\ &\Leftrightarrow \boxed{\ddot{s}(t)+\frac{D}{m}\cdot s(t)=0} \end{align*} Lösungsansatz: \begin{align*} &s(t)=A\cdot \sin(\omega \cdot t)\\ &\dot{s}(t)=A\cdot \omega\cdot \cos(\omega \cdot t)\\ &\ddot{s}(t)=-A\cdot \omega^2\cdot \cos(\omega\cdot t) \end{align*} Einsetzen: \begin{align*} &-A\cdot \omega^2\cdot \sin(\omega \cdot t)+\frac{D}{m}\cdot A\cdot \sin(\omega \cdot t)=0 &&|:\sin(\omega \cdot t), :A\\ &-\omega^2+\frac{D}{m}=0\\ &\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}\\\\ &\Rightarrow s(t)=A\cdot \sin\left(\sqrt{\frac{D}{m}}\cdot t\right)\\ &\text{für}\; t=0 \; \Rightarrow s(0)=A=s_0\\\\ &\Rightarrow \boxed{s(t)=s_0\cdot \sin\left(\sqrt{\frac{D}{m}}\cdot t\right)}\; \text{und}\; \boxed{f=\frac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{D}{m}}} \end{align*}