Im Folgenden möchten wir eine Funktion für die Ladung, die Spannung am Kondensator und der Stromstärke herleiten. Dazu wählen wir den Ansatz, dass die Spannungen subtrahiert immer null ergeben müssen. Die Subtraktion wird nach einfügen der Spannungsgleichung für die Spule durch die offizielle Gleichung u(t) = -L*i'(t) zur Addtion. Dann ist unser Ansatz - nach dem Kirchoffschen Regel - richtig. \begin{align*} U_L(t)-U_C(t)&=0\\\\ U_L(t)&=-L\cdot i(t)\\ U_C(t)&=\frac{q(t)}{C}\\\\ \Rightarrow -L\cdot i(t)-\frac{q(t)}{C}&=0 && |\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow L \cdot i(t)+\frac{q(t)}{C}&=0 && |i(t)=\ddot{q}(t)\\ \end{align*} Lösungsansatz: \begin{align*} q(t)&=A \cdot \cos(B\cdot t)\\ \dot{q}(t)&=-A\cdot B\cdot \sin(B\cdot t)\\ \ddot{q}(t)&=-A\cdot B^2\cdot \sin(B\cdot t) \end{align*} Einsetzen: \begin{align*} &-A\cdot B^2\cdot \cos(B\cdot t)+A\cdot \frac{1}{LC}\cdot \cos(B\cdot t)=0 && |:\cos(B\cdot t), :A\\ &=-B^2+\frac{1}{LC}=0\\ &\Rightarrow B=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\\\ &\Rightarrow q(t)=A\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)\\ &\text{für}\; t= 0 \Rightarrow q(0)=A=q_0\\\\ &\Rightarrow \boxed{q(t)=q_0\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &\text{mit}\; q(t)=C\cdot u(t)\\ &\Rightarrow \boxed{U_c(t)=\frac{q_0}{C}\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &i(t)=\dot{q}(t)=-q_0\cdot \frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)\\ &\boxed{i(t)=-i_0\cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &\boxed{\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}=2\cdot \pi \cdot f}\\ &\boxed{f=\frac{1}{2\cdot \pi \sqrt{LC}}\; \text{und}\; T=2\cdot \pi \sqrt{LC}} \end{align*}
Elektrischer Schwingkreis - Allgemeine Infos
In anderen Kapiteln zum Wechselstrom haben wir die untersucht, was passiert, wenn Kondensator, Spule und ein ohmscher Widerstand in reihe oder parallel geschaltet werden. In diesen Beispielen war für uns immer der Gesamtwiderstand interessant.
Eine elektrische Schaltung aus Kondensator und Spule bezeichnet man allgemein auch als elektrischen Schwingkreis. In Abbildung 1 ist das ganze - nur zur Veranschaulichung - einmal als Parallelschaltung gezeigt. Schließt der Schalter so wird der Kondensator geladen und öffenet sich der Schalter ist lediglich der Schwingkreis in Abbildung 2 vorhanden.
Der Ablauf dieser Schwingung lässt sich in folgenden Abschnitten beschreiben:
- Nach dem Öffnen des Schalters liegt am Kondensator die maximale Spannung an. Es fließt kein Strom und die magnetische Feldenergie (Formeln im Kapitel "Energiebetrachtung im Schwingkreis") ist null, da die gesamte Energie im Kondensator "abgespeichert" ist.
- Der Kondensator entlädt sich und die Stromstärke wächst (zuerst stärker) an. Somit steigt die Energie der Spuele, die des Kondensators sinkt. (Addition beider Energien liefert einen konstanten Wert).
- Ist der Kondensator entladen hat der Entladestrom seinen Maximalwert erreicht. Gleichzeitig wird in der Spule wiedrum eine Spannung induziert, wodurch sich der Kondensator wieder entgegengesetzt (Grund: Lenzsche-Regel) auflädt. Fachsprache: "Es findet die Umwandlung von elektrischer in magnetische Energie statt."
- Wiederholung der elektrischen Schwingung in umgekehrter Richtung.
Im Folgenden möchten wir eine Funktion für die Ladung, die Spannung am Kondensator und der Stromstärke herleiten. Dazu wählen wir den Ansatz, dass die Spannungen subtrahiert immer null ergeben müssen. Die Subtraktion wird nach einfügen der Spannungsgleichung für die Spule durch die offizielle Gleichung u(t) = -L*i'(t) zur Addtion. Dann ist unser Ansatz - nach dem Kirchoffschen Regel - richtig. \begin{align*} U_L(t)-U_C(t)&=0\\\\ U_L(t)&=-L\cdot i(t)\\ U_C(t)&=\frac{q(t)}{C}\\\\ \Rightarrow -L\cdot i(t)-\frac{q(t)}{C}&=0 && |\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow L \cdot i(t)+\frac{q(t)}{C}&=0 && |i(t)=\ddot{q}(t)\\ \end{align*} Lösungsansatz: \begin{align*} q(t)&=A \cdot \cos(B\cdot t)\\ \dot{q}(t)&=-A\cdot B\cdot \sin(B\cdot t)\\ \ddot{q}(t)&=-A\cdot B^2\cdot \sin(B\cdot t) \end{align*} Einsetzen: \begin{align*} &-A\cdot B^2\cdot \cos(B\cdot t)+A\cdot \frac{1}{LC}\cdot \cos(B\cdot t)=0 && |:\cos(B\cdot t), :A\\ &=-B^2+\frac{1}{LC}=0\\ &\Rightarrow B=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\\\ &\Rightarrow q(t)=A\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)\\ &\text{für}\; t= 0 \Rightarrow q(0)=A=q_0\\\\ &\Rightarrow \boxed{q(t)=q_0\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &\text{mit}\; q(t)=C\cdot u(t)\\ &\Rightarrow \boxed{U_c(t)=\frac{q_0}{C}\cdot \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &i(t)=\dot{q}(t)=-q_0\cdot \frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)\\ &\boxed{i(t)=-i_0\cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot t\right)}\\\\ &\boxed{\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}=2\cdot \pi \cdot f}\\ &\boxed{f=\frac{1}{2\cdot \pi \sqrt{LC}}\; \text{und}\; T=2\cdot \pi \sqrt{LC}} \end{align*}